因材施教的落實：談可汗學院的練習系統

一年多前我聽聞「可汗學院」消息時，只覺得這是個線上數學練習題並配合大量的影音講解的網站，只覺得他只是在教學簡單的中小學數學，只覺得可汗是個有毅力的人。去年八月從六十石山觀賞完金針花正返回臺北時，翻起「可汗學院的教育奇蹟」一書，深被其理念所感動，我才知這不單是一個練習題網站，在可汗的深思與規劃下，這是個讓諸多教育理論得以落實的場所。在這一年耗費至少 300 小時以上的時間來研究可汗學院的數學練習題、程式模擬、影片教學後，更把他實際用在教學現場上。在親身使用後，佩服 Khan 的遠見與實作能力。

國一數學教材資源

這篇文章收錄國一數學教材的相關資源，主要以 Khan Academy 的題目為主。

國二數學教材資源

國二上

• 多項式
• Adding and subtracting polynomials
• Multiplying polynomials
• Multiplying binomials 1
• Multiplying binomials 2
• 乘法公式
• 因式分解
• Factoring linear binomials
• Factoring quadratics 1
• Factoring quadratics 2
• Factoring difference of squares 1
• Factoring difference of squares 2
• Factoring difference of squares 3
• Factoring polynomials of grouping
• Factoring quadratics with two variables
• 根號 
• [KP] Square roots of perfect squares 
• [KP] Estimating square roots
• [KP] Simplifying radicals
• [KP] Simplifying radicals 2
• [KP] Adding and subtracting radicals
• [KP] Cube roots
• [KP] Cube roots 2
• [KA] Recognizing rational and irrational numbers
• [KA] Recognizing rational and irrational expressions
• 符號的指數律 (不列在課綱內, 此部分也用到)
• [KA] Simplifying rational expressions with exponent properties
• [KA] Simplifying expressions with exponents
• [KA] Equivalent forms of exponential expressions
• [KA] Understanding fractional exponents
• [KA] Manipulating factional exponents
• [KA] Fractional exponents
• [KA] Fractional exponents 2
• [KA] Radical equations
• [KA] Extraneous solutions to radical equaitons 
• 畢式定理
• [KA] Pythagorean Theorem
• [KA] Pythagorean Theorem proofs
• [KA] Special right triangles 
• 二次多項式 (二次函數的概念不在國二單元)
• Solving quadratics by taking the square root
• Understanding the process for solving quadratic equations
• [偵錯]
• Solving quadratics by factoring
• Solving quadratics by factoring 2
• Completing the square in quadratic expressions
• Solving quadratics by completing the square 1
• Solving quadratics by completing the square 2
• Rewriting quadratics expressions to reveal key features
• The quadratic formula
• Vertex of a parabola
• Graphing parabolas in standard form
• Parabola intuition 1
• Graphing parabolas in vertex form
• Graphing parabolas in all forms

均一教育平台相關連結

目前稍微把均一教育平台的網路的討論串整理一下，若有尚未列舉的使用心得、新聞稿再讓我知道。

Khan 學院與高中數學對應單元

這網頁整理 Khan 學院與高中數學相對應的單元：

• 多項式
• 
  
• 指對數
• https://www.khanacademy.org/math/algebra2/exponential_and_logarithmic_func
• 此主題談到指數函數，關於指數函數成長速度很快這部分可以多注意。
• https://www.khanacademy.org/math/algebra2/logarithms-tutorial
• 此主題談到對數的基本運算規律
• 數列與級數
• 排列組合
• 機率
• 統計

中學數學與電腦的相遇

因朋友的引薦，我在今年七月的台大資訊系統訓練班開設一個「中學數學與電腦相遇」的課程在這門課中，最主要想實踐一些想法：

「透過電腦與程式來讓中學學生接觸到數學比較實用的一面，進而期待學生能用數學與電腦來對社會做些有貢獻的事。」

Khan 高中數學練習題：指對數

一般高中數學的確有太多莫名其妙的題目，讓數學的學習流於過多的技巧，而不見數學的原始概念。 但 Khan 上面的練習都以基本概念為主。對一般非數學專業的人，我想數學的學習主要去感受到其基本意涵，而不是特殊技巧的操作技術。 Khan 學院這裡的題目主要幫大家建立這些基本符號的概念。在指對數的學習上有如下重點：

• 指數是個成長率相當快的函數。
• 自然界很多現象都是指數成長、指數變化。如何用指數函數來描述這些關係。
• 指數關係的數值往往數字太大不方便計算，對數則把焦點放在次方，讓計算得以簡化。
• 取對數可以化乘為加、化次方為乘法的概念。
• 掌握指對數函數圖形的特性。

• Exponential and logarithmic functions
• Understanding linear and exponential models
https://www.khanacademy.org/math/algebra2/exponential_and_logarithmic_func/exp_growth_decay/e/understanding-linear-and-exponential-models
• Comparing growth rates of exponentials and polynomials
https://www.khanacademy.org/math/algebra2/exponential_and_logarithmic_func/exp_growth_decay/e/comparing-growth-rates-of-exponentials-and-polynomials
• Constructing linear and exponential functions
https://www.khanacademy.org/math/algebra2/exponential_and_logarithmic_func/exp_growth_decay/e/constructing-linear-and-exponential-functions
• Using logarithms to solve exponential equations
https://www.khanacademy.org/math/algebra2/exponential_and_logarithmic_func/exponential-modeling/e/using-logarithms-to-solve-exponential-equations
• Modeling with exponential functions
https://www.khanacademy.org/math/algebra2/exponential_and_logarithmic_func/exponential-modeling/e/modeling-with-exponential-functions
• Graphs of exponentials and logarithms
https://www.khanacademy.org/math/algebra2/exponential_and_logarithmic_func/log_functions/e/graphs-of-exponentials-and-logarithms
• Logarithms
logarithms-tutorial
• Evaluating logarithms
https://www.khanacademy.org/math/algebra2/logarithms-tutorial/logarithm_basics/e/logarithms_1
• Evaluating logarithms 2
https://www.khanacademy.org/math/algebra2/logarithms-tutorial/logarithm_basics/e/logarithms_1.5
• Understanding logarithms as inverse exponentials
https://www.khanacademy.org/math/algebra2/logarithms-tutorial/logarithm_basics/e/understanding-logs-as-inverse-exponentials
• Operations with logarithms
https://www.khanacademy.org/math/algebra2/logarithms-tutorial/logarithm_properties/e/logarithms_2

Khan 程式設計 互動程式

這節主要羅列互動式程式：

學微積分憑感覺2: 由函數的宏觀觀點談極限

此講主要透過函數圖形來了解方程式的宏觀特性，了解函數的描述用語（定義域與值域），並介紹極限 (lim) 符號在描述函數圖形上的使用。

Khan 學院相關介紹連結

此頁面為計概課介紹 Khan 學院的相關連結：

Khan 程式設計 數學相關範例

這篇主要條列數學相關問題的程式： 十進位、二進位轉換：

Khan 程式設計 Javascript Part 2 動畫的基本概念

此講為播放清單的 11~20 的程式碼連結，主要介紹迴圈並講「幻覺圖形」的設計：

Khan 程式設計 Javascript Part 1 動畫的基本概念

此講透過一個圓球的移動，介紹圖案繪製、動畫、程式判斷的基本概念。

103 年學測數學五標內插還原

今年學測成績剛出爐，利用內插還原其原始資料。以分數來看，可說是歷年來最簡單一年，均標級分首次達 8，50%還原後分數為 51.32，首次破 50 分，88% 還原後也達 84 分。今年均標、後標上昇主要是基本題增多，這樣的試卷也想鼓勵更多學生不要放棄數學。
五標分數內差還原

強強數學教學札記週年

在一年前的過年期間，確定了教育志業的決定，轉眼間，Blog 成立即將屆滿週年，以這篇文章來再次確定未來的志向。

「數學與資訊是我的專業，研究與教學是我的興趣，對社會有貢獻是我的理想。」

心智圖學數學

雖然已經耳聞心智圖許久，我看到的例子都以文學閱讀為主。

有學生比較會進入細節，就忘了現在到哪邊，所以通常很容易學完就忘。
最近開始嘗試心智圖教學，也不確定是否有幫助，不過沒試就真的沒幫助。

[書摘] Poincare 【科學與假設】

在過去，我從事些理論探討時，總是讓自己披上一個探究真理的保護衣。但有時還蠻遲疑究竟是自己樂於探究真理，還是把這個探究真理當成一個安逸的護身符。

在這一年內，漸漸歸結一個結論，其實「真理是不可得」，我在乎的不是這個，只是一份心中的自在感。心中有疑惑、好奇時就繼續去思考，但思考就像探索世界一樣是沒有底、無法窮盡的。有價值的是在於思考、旅行的當下過程，因這些活動刺激所造成的自我成長。

[教案] 學微積分憑感覺

完整播放清單：

我長期都在強調數學直覺感的建立，但直覺感的教學向來不是件容易的事，尤其是坊間多數教材的編排都不是照著這理念。要從事這樣的教學是件相當費心力的事。很多老師雖然心中有這些直覺感，但教學當下因為沒有合適的素材可能又會回歸到機械式的步驟拆解。

當然直覺感並非數學的全部，想要學習嚴謹的數學還是要回歸到教科書上。這份影音教學是想要給那些無法理解教科書的人另一種嘗試的機會，希望透過這些個人的學習心得分享，讓他們能夠更容易對數學有些感覺。

學測 103 題目解析 成功並不是你贏過多少人，而是幫助過多少人

完整播放清單：http://www.youtube.com/playlist?list=PLXH05kw-i_5IvMa1JV8iaBOqoF1olk4Xf

今年的學測題題目偏簡單，我想大考中心的用意是希望不要太多學生放棄數學，能對數學有些基本的投入。我認識不少文組的優秀學生，其實他們本身資質也不錯，但是因為坊間參考書有過多傳統不合宜的題目，月考也常會夾雜著不合適教學的技巧題型，現場的教師往往也把大部份的上課時間放在這種技巧的傳授上，學生在數學的學習很難達到「思考」、「討論」的機會。以這方面的觀點我是贊成把考試難度簡化，但也不希望它簡化到只是背誦名詞、公式(諸如 學測數學103-單選1 、學測數學103-填充G) 這樣反而失去數學學習的樂趣。

[教案] 正立方體與正三角錐

這次使用正立方體內的三角錐來強化學生對正三錐的熟悉與感覺的建立。傳統在處理正三角錐的稜高比都是用餘弦定理來計算，但計算式的結果其實必較不利於在大腦建立起聯想地圖，這次則嘗試用體積的觀點來切入，也順便把這個概念與三角錐的體積連結強化，並希望透過後半部的相關試題讓學生除了聽講外，也能動手操作而建立學生自己的心智地圖。

可汗學院評量題庫是什麼？不是什麼？

上月底 (2013/12/25) 剛完成 Khan 學院 555 道評量的練習，又再經過十天 (12013/1/6)，終於把全部達到精熟(Master)。在這 50 小時以上的練習過程，我不斷讚嘆 Khan 評量多元性的程式設計，同時也在思索「Khan」學院的題庫的定位與教學上配合的方式。老師想要把 Khan 學院引入為一個教學的工具下，一定要先把這個問題想清楚：

「可汗學院評量題庫是什麼？不是什麼？」

學測 91~102 五標分數與低得分率Top10

距 103 學測倒數 10 天，根據大考中心的資料把近十二年學測級分回推原始得分。
並列舉出單選、多選、選填得分率最低的 10 題。
pdf 連結：https://drive.google.com/file/d/0B38iXVUUr6PbMkxpZkZqSFdKckk/
影音介紹播放清單：http://www.youtube.com/playlist?list=PLXH05kw-i_5IY3PwJyHWz5H6UhSZmiLDj

最困難的  98 學測，頂標原始分數約 62 分，低得分率 30 題中占了 7 題。
最簡單的 100 學測，頂標原始分數約 82 分，低得分率 30 題中占了 0 題。

五標級分回推原始得分：