從學習中獲得成就與樂趣

以下這篇文章是寫個最近的國一學生。其實教學這麼多年，發覺最重要以及困難的還是幫學生建立良好的學習心態。心態正確，學習起來就是件輕鬆的事，尤其這世代資源很豐富，讓學生如何找到資源，如何自行消化學習是種更重要的能力。被動的學習真的不是教育要教出來的學生。

從學習中感受到樂趣

在第一堂課，我們談了數學是重視「直覺」與「經驗」的結合，而不是用一個無法理解的公式做些機械式的操作。對於每個現象都要去「觀察」、「感受」文字、數字表面以下所代表的意涵。

第二堂課，我想要談論的概念就是學習的樂趣。現在你才剛開始進入國一，接下來有很高的可能性會再念大學、念研究所。這學習之路還有 12 年左右之久。所以在開始談數學之前，一定要先讓你心理上可以感受到學習的快樂。不然，持續悶悶不樂來學習如此長久，我想學到的也不會是有用可消化的知識，無法轉成可內化的智慧。

學會去感受學習與成長的樂趣，比考了多少分數都重要，當然不是說不理會分數，分數是個自我肯定的來源，但不要用應付的方式去獲取分數。諸如太過在意這個不考而不念，這個會考就先背再說而不求理解，這樣的行為都會大大抹殺了學習的樂趣。

可汗學院線上題庫 (微積分介紹)

下學期要開設微積分課程，便把 Khan Academy 上面的微積分線上習題拿來研究一下。做了之後覺得裡面的題目設計還不錯，便花了四個星期的時間，或許約有 100 小時，把所有 554 道題庫全部完成，且其中  405 道題目得到精熟的指標。

Wisdom is Doing it.

博士論文口試已經是五百多天前的事，再轉個眼 1000 天的日期也將到來。這些日子下了些決定，那就是以「探索知識、分享知識。」為主要志業。

今日書寫這篇文章主要也是來釐清心中那份不確定性與不安。等心中已經破除這種執著與疑惑後，這種論述應該就不會再出現。究竟往走這條非傳統學術研究的路是否為正確選擇。若繼續在純理論研究個十多年是否能夠做出些真正對社會有貢獻的事。若運氣好，有些足以升等論文之外，我還有對這社會有那些幫助呢？

[教案] 數列與房貸問題

這個教案改自我上週在某私校談離散數學時的教案，但我也想也適合程度比較好的高中生。貼在這邊除了分享教案外，更希望聽到更多的建議來改善我影片的錄製。

影片：
http://www.youtube.com/playlist?list=PLXH05kw-i_5K3KbxFWQalKNBV_K634rRb

共三小段 16分鐘，
第一段談房價獲利介紹等比數列、平均成長率
   （也可以看出近六年的房價漲幅遠大於先前，究竟是誰的錯呢？:）
第二段切入房貸議題以試算表（電腦）來切入，並觀察一些變化。這是手動計算比較欠缺的，讓學生可以觀察到不同數據的影響。
第三段以數學的觀點來解，不同於傳統教法，而是把數列轉化為等比數列來計算。

講義：
https://docs.google.com/file/d/0B38iXVUUr6PbcXlyclJlZ3U4VUE/edit

從 machine Learning 談「經驗」、「公式」與「學習」

來資工系聽到最吸引我的理論就是「Machine Learning」。不過，我也沒有正式的修過這門課，只是在人工智慧這門課裡面聽到一些介紹。在初步了解「Machine Learning」後，我覺得這應該改名為「Human Learning」。而我們平常的數學課「公理、定義、公式」的教學才該叫做 「Maching Learing」。

要的不是真理，而是了解真理的過程，讓我更熟悉、更坦然

一開始在 Ptt Tutor 版針對為何 (x^2-1)/(X-1) 不是多項式問題給了一個引導式的假想教學。後續便與 condensed 開始一連串的辯證討論。和 condensed 的辯証的過程很不錯，很多時候，在辯證論述的過程其實也不是因為心中堅持某些想法，而是透過辯證的過程，讓我們得以對心中那份不確定性更加清析。

透過此篇，我摘要一下，原討論串裡面幾個想法：

等價敘述所扮演的目的其實不是在於回答為什麼？而是透過這些等價敘述，讓我們的經驗知覺建立更多的連結。

YouTube 觀賞數破萬

上週剛考完離散數學與線性代數期中考，youtube 教學影片的瀏覽次數三天瞬間爆增 2500 次，使得總觀看次數也破萬。

「善意」與「規定」

這篇文章，主要針對 Ptt 家教版討論串所作的回應：

這篇回文主要在想分享「規定」、「善意」兩個想法，不一定和這串討論相關度這麼高，此是藉此抒發，在此先講三個小故事：

如何家教時薪破千

這篇主要回應 Ptt 上的一篇文章：http://www.ptt.cc/bbs/tutor/M.1382121364.A.81D.html

: 這篇文章的主要內容是：用一對一家教，賺取一小時一千元的條件為何？

線性代數：以簡御繁的思維（課程清單）

這篇文章主要記錄 102 年在東吳開設的線性代數一學年的課程的課程清單，課本以 Steven J. Leon Linear Algebra with Application 為主。前四周主要帶些高中數學的基本概念，讓學生回顧高中數學的向量與建立線性「以簡御繁」的感覺。第五周開始談課本的內容。

[書摘] 原來這才是心理學

教學教久了，發覺很多時候，其實不單是知識面上的問題。如何幫助學生建立好的習慣、有良好的唸書動力才是更重要的。
最近也開始想從心理學那邊獲取些改進教學引導學生的方式。不過，坊間的心理學課本也是記載些門派理論，這本「原來這才是心理學」，則以案例的方式來切入。

我大學時修過林以正的通識課，普通心理學丙。林以正老師，當時就講他上課不照課本講，他只講案例故事，課本是讓我們查資料用的，那些資料相信大學生自己也能看得懂。但期中考試就是開書考考資料那些知識，你不用死記一些東西人名，但你要知道哪個關鍵字和哪個主題有關，才能在短暫的兩小時，從數百頁的教科書查到你要的資料。

其實數學教學也是，不該照著分門別科定義、定理的講述方式，而是該從問題出發，再回歸到定義、定理。這樣去看數學才不會覺得一切很突兀，也才能欣賞數學的美。

離散數學：單純想問題的感動 （課程清單）

這學期在東吳大學開設離散數學選修課。這篇文章主要收錄這學期的課程影片清單。


我在高中時，除了離散數學外，其他數學學門實在是不知在學什麼，學三角在解方程、玩公式、學指對數也是在解方程、玩符號、學向量也是一樣的模式。還好當時我對代數符號的遊戲還算熟悉，以致成績還不至於太糟糕。不然，實在很難想像在那完全不知道這些數學工具的目的下，怎麼有動力學習下去。

離散數學那時對我的感覺就是 puzzle 、就是數學遊戲，不用太多先備知識，看到問題就可以動手。對我這種不喜歡唸書，只喜歡自己嘗試看看的學習態度是最合適的。沒有固定的步驟，沒有複雜的公式，這才是有趣的地方。

沒有疑惑就沒有瞭解，談翻轉教室 (Flipped classroom)

翻轉教室是這幾年新興的教育改革名詞，這其實不是什麼新概念，只是把「課程預習」的概念再強化。而把這想法實現成功者就是 Khan Academey 。Khan 從她對甥女教導的過程累積相當多的教學影片，接著也自行開發許多線上測驗程式。讓學生有比較好的途徑可以進行預習的動作，(指定書籍可能閱讀門檻相對比較高。)此外教師也可以從線上測驗的統計資料分析學生的問題。而這過程最主要的目的就是要讓課堂從「講授」轉為「討論」。

[書摘] 教育應該不一樣 嚴長壽

因為接觸均一教育基金會的關係，才知道嚴長壽有辦個均一中小學。近日便把嚴長壽在 2011 年所寫的教育相關的書籍翻閱一下。其實不少針對教育的批評也都是眾所皆知的事，但要能改變這環境還是件不容易的事。不過，看完此書，對嚴長壽這樣一個企業家對教育的熱忱還是感到很佩服。以下是一些此書的書摘：

[文摘] What is essential is invisible to the eye.

It is only with the heart that one can see rightly, what is essential is invisible to the eye.       【The Little Prince】

 這句話在各個領域都常被引用，我也喜歡引用這句話在數學的學習。

[教學] 複數可不可以比大小

這文章是回複 ptt Tutor 板上的文章：「[解題] 高中數學 虛數無法比大小的簡易說明」，但也趁著這篇文章談些教學上的想法。

要回答學生這個問題時，要先清楚學生的「疑惑」在哪裡？
在學生的認知裡，「比大小」就是比序。在考題的認知裡，「比大小」就是操作不等式。若沒離清這個認真的差異性，再多的說明都會造成學生：
  「我考試會寫這個答案，但我心中有一套自己的答案。」

學習是不斷的「？」與「！」，而不是接連的「。」

一年前，開始於課後出作業給學生時，便在每封信的開頭會根據學生的學習情況、當時的課程、或者當周自己的所見所聞，挑選一句話來當作每次作業的標題頁。所以過了一年多也累積了近五十句「名言」或「心得」，我想也是可以把這些標題句整理於這個 Blog。

國高中數學教案列表

在 2012 年七月從台大資工取得博士學位後，原本也是打算申請日本的博士後計劃。或許是上天希望我在教育界服務的機會，讓 JSPS 的計劃申請沒有成功。於是去年的身份便成為專職家教一員。對於未來發展的方向思量許久，在思索半年後 (等著第二次 JSPS 的申請計劃)，下了這樣的決定，以教學為未來的發展方向，但究竟以哪種型式來進行教學的實現也不是很確定，家庭教師、補習班、教育機構亦或線上教育。

[教案] 三角函數教學

這篇教學檔是今年七月去均一教育平台討論時進行的教案，當天有個高二升高三的學生配合進行對話式的教學錄影。

這份教案主要是強調高中數學工具和其他學科的連結與應用，希望數學的教學不要過度強調符號的遊戲。數學本是探索其他科學的基本語言，但很不幸現在的學門過度的切割細分，讓學生學習時常掌握不到全貌，讓學生不知所學為何。因此，希望適度的引用其他學科上的例子來讓學生比較能掌握到學習為何而用。

[教案] 排列組合的分配方法數

這份講義配合高一下學期第一次月考範圍針對同物、異物的分配問題給於解說。很多學生才發現數學學習的障礙，若過去數學的學習偏好公式記憶的學生，在這單元常會有錯用公式、反應不太過來的情況發生。在解說這單元時，我強調回到最根本的樹狀圖結構來進行理解，避免使用 H, P 的符號來作計算。

翻轉教育與家教教學：以中線定理、平行四邊形定理教案為例

「翻轉教育」就是對於固定的授課內容，由學生在家觀看基本教材，在課堂進行之時與學生進行對話討論。但要進行班級式的對話討論，老師在班級氣氛掌握能力其實也要有一定程度。但對於一對一的教學，對話式地進行就相對比較容易。

[書] 可汗學院的教育奇蹟

這週利用台北來回玉里將近 10 小時的車程把「可汗學院的教育奇蹟」一書看完。原本不期待會看到任何有趣想法，但翻了十幾頁後，深深地被感動，因為有太多相似的背景。(數學系、資工系畢業、許多一對一數學家教經驗，而正好最近也有基金避險公司希望我去面談。) 當然最大的感動是他和我有相似的理想，這理想的起因就在於家教的過程中，才發覺對於教的熱忱與興趣，也體會到數學教育上存在著很嚴重的問題，更進一步思索的同時，總會懷疑自己是否有力量去改變呢？在看完這本書後，幫我釐清我這一年來的許多疑惑，也讓我有更大的動力往教學方向去作些努力。在此摘錄幾段感受特別深刻的內容，其實也是藉由他的文字來陳述我的心聲。

傳達學習的純粹喜悅(p.29)

我希望能傳達學習的純粹喜悅，還有了解宇宙萬物時的興奮。我想教給學生的不光是邏輯，還有數學與科學之美。...... 我不希望重現乏味的課堂形式，像是機械式的背誦，硬套用公式，將學習的意義與期限限於下次考試拿到好成績等。相反地，我希望幫助學生體會每一課之間的連結與演進。我希望磨練他們的直覺，讓每次吸收的資訊與概念逐漸整合，直到終於達到精熟。簡單說來，我想重現學習的熱情，讓學生主動參與，體會學習的自然喜悅。傳統教育有時似乎只會痛擊學生的興趣，逼使他們俯首聽命。

利用程式教數學

在前日完成圓錐曲線的離心率教案時，就曾經閃過是否要用程式來模擬萬有引力對運動軌跡的影響。 今早便開始動手來完成他，進度比想像中的還順利，看到軌跡呈現出一個橢圓以及雙曲線時還真是感動。 雖然已知知道會是如此，但親眼目睹時，還是有一種蠻強烈的感受。

程式範例：Eccentricity

Made using: Khan Academy Computer Science.

學數學憑感覺：二次曲線之離心率

離心率這個主題是上週和學生談論所提到的課題，我在課後用 GeoGebra 做些資料也順便把他錄製成一段教學影片。 但整個過程耗時 10 小時以上，我想若是要給很多人看的影片就有其價值作更高的要求。

[教案] 從 Khan 的 javascript 教學談高中數學與程式設計

很高興看到 Khan 學院上已經架構了方便程式撰寫的界面。 其實上面也有很精彩的英文教學影片，但以我當初大學英文的程度是無法吸收以上的知識，所以我先用中文化的方式幫這網站的程式教學做些簡單地介紹。 另一方面，我也在嘗試利用程式來輔助高中數學的教學，至少可以讓高中生感覺到高中的數學真正有用的部分。 我想這也才是真正高中生需要的資優教學，而不是作些很刻意設計過的題目來進行些數學謎題。 (回想當初高中之時為了準備數學能力競賽時反而做了過多無益於思想、心智的訓練，真是浪費了寶貴青春。)

[教案] 隨機變數：在不確定中尋找確定性

這個實驗教案是嘗試進行對話式的教學內容。所談的對象與主題是高中 99 課綱三年級數學的第一章「隨機變數」。 我以前大三第一次修習隨機變數時，常掌握不到那 Random Variable 的意涵。後來，到資工系旁聽呂學一老師的機率課時，才再把相關概念重新整理。

[教學] 線代思維一：韓信點兵、Lagrange 插值法、Fibonacci 數列

當初大一修完一學年的線性代數課完全不了解是線性代數是在做什麼什麼，只記得 eigenvalue 、矩陣等專有名詞。 後來在準備研究所推甄時來重讀線代才有另一番體悟，了解到線代有個思維就是「繁由簡生、執簡馭繁」。 在日後當高中數學家教時，有機會重溫高中數學才瞭解這「繁由簡生」的概念，其實可對高中數學有更上一層的理解。

91-101 年指考數學乙得分率最低 10 題

• 原始數據來源大考中心。
• Pdf 檔：
• https://docs.google.com/file/d/0B38iXVUUr6PbaGtVM1JOU1VDd1U/edit?usp=sharing

[GeoGebra] 指考數甲 88 年填充 2

題目：

Khan Academy 、均一教育平台

上週六第一次參加了 G0v 臨時政府的活動，這討論會是想召集些人來用程式、網路的力量來為社會給些改變。 在會中自我介紹時，隨口提及自己想要做些數學教育方面的努力。 本來不預期會場有人有興趣，沒想到中午休息時有位林先生便來談他也有這方面的興趣。 稍微談一下彼此的想法後，他提到了 Khan Academy ，說他現在每天都鼓勵他的小孩到 Khan Academy 來玩個 1000 分。

數甲、數乙指考五標

大學入學指定考試科目 93 年至 101 年數學乙五標

[書摘] 領悟到代數的用意就是要求出 X 值，用甚麼方法無關緊要。

一位長我三歲的堂兄正在念中學。他的代數很糟，於是家裡請了個家教。 長輩們准我坐在旁邊，聽家庭教師講解代數。我聽到他在講 X。

我問堂哥：「你在做甚麼？」
「我在求 X 的值，例如在 2X+7=15 的式子裡，X 等於多少。」
「那不是 4 嗎?」
「對，但你是用算數算的，現在要用代數算。」
我慶幸自己不是在學校學到代數，而是在閣樓裡發現姑母的舊課本，自己學會的。
我領悟到代數的用意就是要求出 X 值，用甚麼方法無關緊要。
所謂「代數的方法」不過是方便所有的學生不管懂或不懂都可以過關的方法。 這就是堂哥老學不好的原因。

【你管別人怎麼想】(一個科學家的養成 p.11)

[GeoGebra] 高中數學學測97年填充E 平面截長方體成正方體

題目：

[書摘] 不斷的舉實例

費曼甚至到他晚年，他仍然說：「我至今有一套方法，當別人對我說明一些什麼，而我努力要弄明白時，我還是在用這些方法，就是：不斷的舉實例。」而他將他的這種舉實例和凡事勇於親身經歷的態度歸功於他父親的教導。
　費曼回憶小時候，提到：父親教導他知識時，都會翻轉成實際可以了解的東西。例如父親讀到書中提到恐龍有多少英尺高時，會說：「如果恐龍現在站在我們家前院，牠的頭可以伸進二樓的窗戶，但牠的頭可能太大，擠不進我們的窗口。」費曼回憶說：從此以後，他讀到任何東西，都會想辦法翻轉成實際例子，以了解它的真正意義。【別鬧了，費曼先生】

[影片] 向量：從不同點的觀看，就有不同的觀點。

數學是一套描述自然的語言：

當我提出這個問題時候，你們感到興奮？好奇嗎？

當我提出這個問題時候，你們感到興奮？好奇嗎？ 《三個傻瓜》 


研究對我而言，就是探索知識，有沒有一個正式的頭銜對我來說並不是那麼重要，有沒有一點貢獻，對我來說才是我想追求的。